Geometría Descriptiva

Tiene por objeto la representación de las figuras del espacio en un plano bidimensional, valiéndose para ello de las llamadas proyecciones. Dependiendo de la proyección empleada tenemos los distintos sistemas de representación.

Cada sistema de representación cumple unas condiciones (Elementos básicos).

El objeto que deseamos representar (Por ejemplo un punto).

El plano (s) sobre los cuales obtendremos la proyección.

Los rayos proyectantes, que cumpliendo unas condiciones pasan por el objeto calculando la intersección con los planos del sistema (la proyección del punto).

Dependiendo de los rayos proyectantes podemos distinguir:

*Proyecciones cilíndricas: los rayos proyectantes son paralelos entre si.

*Proyecciones cónicas: los rayos proyectantes parten de un mismo punto fijo.

La geometría descriptiva se define como la rama de las matemáticas que analiza los cuerpos en el espacio representando los objetos de 3 dimensiones con representaciones bidimensionales.

Un objeto puede representarse mediante un isomètrico donde se combinan todas las perspectivas o colocando cada una de las vistas mediante proyecciones (frontales, laterales o superiores).

Para representar un punto en forma bidimensional en un plano una rotación de los planos en sentido horario de tal manera que los planos se empalmen en forma vertical como muestra el siguiente diagrama.

La distancia horizontal recibe el nombre de alejamiento y la vertical de cota.

Ejemplo:

Alejamiento (Desplazamiento horizontal)
cota (Desplazamiento vertical)  

Punto R

     X= Alejamiento -3cm
     Y=Cota -4cm 

Punto G
     X=Alejamiento 4cm

     Y=Cota -4cm

PROYECCIÓN

Una proyección es la representación de un objeto tridimensional en una representación bidimensional.

Los elementos de una proyección son:

1) El observador se conoce como centro de proyección y es al punto donde concurren los rayos de proyección y puede estar ubicado en cualquier parte del espacio, si tiene una distancia finita se conoce como "Centro de conexión propia" si se tiene una distancia infinita (los rayos de proyección son paralelos) se denomina centro de proyección impropia.

2) Plano de proyección: Es un plano colocado a una distancia arbitraria donde se presenta la proyección del objeto.

3) Objeto:  Es el elemento a representar.

4) Rayos proyectantes: Son las rectas que unen el centro de proyección con los puntos del objeto y se proyectan en el plano.

5) Proyección: Es la representación en el plano del objeto en forma bidimensional.

TIPOS DE PROYECCIÓN

De acuerdo a la posición del observador se pueden clasificar las proyecciones como se representa en el siguiente esquema.

PROYECCIÓN CÓNICA ORTOGONAL

Es aquella proyección donde las lineas de proyección concurren en un punto central y estos se presentan en forma horizontal.

PROYECCIÓN CÓNICA OBLICUA

Es aquella proyección en donde el observador y el plano de proyección se encuentran a diferente altura como muestra el siguiente esquema.

PROYECCIÓN PARALELA ORTOGONAL 

Es aquella proyección en donde el observador se encuentra a una distancia indefinida del plano de proyección por tanto las lineas de proyección son paralelas.

PROYECCIÓN PARALELA OBLICUA

En esta proyección las lineas de proyección se representan en forma diagonal como muestra el siguiente esquema.

Una proyección permite representar un isomètrico (representación de un objeto sin alterar sus proporciones) utilizando diferentes transformaciones entre las cuales se encuentran:

A) Traslación: Es el cambio de ubicación de los puntos de una figura plana en una misma dirección, sentido y longitud, se puede representar el movimiento mediante flechas que reciben el nombre de vectores.

B) Reflexión: Es una representación de una figura original a otra llamada imagen utilizando una recta llamada eje de simetría, utilizando rectas perpendiculares como se muestra el siguiente esquema.

C) Simetría Central: En esta transformación se realiza la imagen utilizando proyecciones de los puntos de la figura que convergen en un punto llamado punto de simetría trasladando las distancias con el compás.

D) Rotación: Esta transformación se realiza a partir de un punto de rotación con un angulo de rotación determinado, se realiza en forma positiva en sentido anti horario y negativo en sentido horario.

ISOMÈTRICO

Un isomètrico representa a un objeto en forma tridimensional utilizando proyecciones con una inclinación de 30º con respecto a la horizontal para conservar las medidas ya sea a escala o con valor real. Represente un cubo de 4 cm de arista en un cubo isomètrico.
 
Cubo
4 cm de Arista
4 cm de Base
4 cm de Profundidad
4 cm de Altura

La escala se define como una representación de un objeto en forma proporcional donde se puede calcular la proporción mediante la siguiente ecuación  Escala = Dibujo / Realidad
Cuando se realiza una representación donde se incrementa los valores de cada magnitud la relación debe ser mayor a 1, en caso contrario la relación es menor a 1.

Para representar una escala en lugar diagonal se representa con 2 puntos como se muestra la siguiente proporción:

2:1                                  5:1                            100:25                       Ampliación 

1:2                                  3:1                            100:125                     Reducción 

Ejemplo:

Realice un isomètrico de un prisma utilizando una escala 2:1

Base 3 cm

Profundidad 3 cm

Altura 2 cm 

 *Para poder sacar la escala 2:1 de las medidas dadas, utilizamos una regla de 3

      2     1
             3                       (Multiplicamos la medida real del isometrico por la escala "2" la cual es la                                             ampliación y la dividimos entre el "1"

El resultado de esta operación sera 6 la cual sera la ampliación de nuestro isometrico lo mismo hacemos para encontrar las siguientes medidas
y las medidas a escala 2:1 serán:
Base = 6 cm
Profundidad = 6 cm
Altura = 4 cm

Para empezar a realizar el isometrico lo primero que debemos hacer es colocar las coordenadas X y Y de un plano cartesiano y colocar 2 ángulos de 30º grados cada uno.

Después colocar las medidas de la base y profundidad y altura.

Continuamos uniendo nuestras lineas de acuerdo a las medidas ya establecidas para formar nuestro isomètrico como continuación se muestra.

ESPACIO TRIDIMENSIONAL Y SUBDIVISIÓN EN CUADRANTES

Un isomètrico con 3 vistas principales, generalmente el observador se representa del lado izquierdo del objeto, obteniendo así la siguiente imagen.

Para representar las vistas de un objeto se utiliza un cuadrante con 2 ejes perpendiculares colocando una linea auxiliar a 45º en el primer cuadrante graficando las vistas de la siguiente manera.

Para graficar las vistas de un objeto se debe generar el volumen del mismo representando a escala cada una de las medidas, utilizando paralelas que van auxiliar en los cortes a cada una de las vistas.

Ejemplo: Represente las 3 vistas de la siguiente figura.

Para proyectar cada una de sus cara lo primero es graficar un plano con un angulo de 45º y partiendo de ese plano del lado inferior izquierdo sera nuestra primera vista de la cara que tendremos por resultado.

Al obtener la primera cara del isomètrico partimos de hay para graficar nuestra siguiente cara (vista superior) por medio de linead punteadas de los vértices de la cara y representar la sengunda cara.

Después de los vértices de la segunda cara de lado derecho sacamos lineas punteadas asta tocar al angulo de 45º.

Ahora a partir de donde las lineas punteadas tocaron al angulo de 45º punteamos hacia el cuarto plano.

y por ultimo graficamos la ultima cara (vista lateral derecha). Dando por resultado las 3 principales caras del isomètrico 

SISTEMA DE COORDENADAS 

Un sistema de 3 dimensiones cuenta con 3 ejes perpendiculares entre si. Los cuales permiten ubicar un punto en el espacio a través de triadas que permiten identificar la posición mediante proyecciones en cada uno de los ejes, los cuales forman octantes que son proyecciones en planos formados por los ejes, los octantes se colocan en sentido anti horario iniciando en la vista frontal del observador.

para ubica un punto en el espacio se utilizan por convension los ejes x, y, z en la siguiente posición.

Para representar un punto se hacen proyecciones como indica el siguiente ejemplo:

A= Punto (3, 4, 2)

B= Punto (2, 0, 1)

C= Punto (-2, 4, 0)

Para realizar el recorrido de cada uno de los puntos se mostrara en la siguiente imagen.

Como podemos observar para encontrar el punto A se hizo el recorrido con las coordenadas dadas. Primero se mueve 3 espacios en X (+) comenzando del centro del plano y partiendo de ese punto se mueve 4 espacios mas en Y (+) y por ultimo 2 espacios en Z (+) y de esa forma encontramos la posición del punto A. y así contiguamente se encontraran los siguientes puntos.

Para calcular la distancia entre 2 puntos se utiliza el teorema de pitagoras utilizando el incremento en cada uno de los ejes aplicando la siguiente ecuación.  

EL PUNTO EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL

Para identificar los vértices y aristas de un objeto es importante identificar el punto de referencia donde sera colocado el sistema de coordenado con la finalidad de identificar las coordenadas de cada uno de los vértices.

Las coordenadas permiten encontrar la medida de los aristas conservando la distancia entre los puntos

Ejemplo:

VISTAS DE UN OBJETO

Un objeto (prisma) cuenta principalmente con 6 caras que pueden representarse mediante proyecciones, como muestra el siguiente esquema.

Para graficar las proyecciones de cada una de las caras de un isomètrico empezamos por mostrar punteadamente sus caras.

Al tener las lineas punteadas de la primera cara a proyectar, tomamos nuestro compás y lo abrimos a 5 cm y de las puntas que representan la primera cara de nuestro isomètrico marcamos los 5 cm

y continuamente marcamos los primeros 4 puntos para la primera cara, al obtener ya los puntos claves los unimos y obtenemos la primera cara proyectada.

sucesivamente  vamos marcando los lados de cada una de las caras del isometrico encontrando los puntos claves y unirlo hasta obtener las 6 proyecciones de sus caras.

ÁNGULOS

Un angulo se define como la observatura entre 2 rectas y se denota por el símbolo <) seguido de los puntos que conforman al segmento o su vértice,

En el Sistema Internacional se utilizan los degradientes que dividen a una circunferencia en 360º.

El Sistema Absoluto utiliza radiales que son la división de una circunferencia en 2 birradiales.

Para calcular el valor de uno o varios ángulos a partir de un esquema se debe encontrar la ecuación como muestra los siguientes ejemplo:

180º360º

la ecuación es representada por la medida dada por cada uno de los angulos:

4x + 2x + 3x + 2x

Después de representar la ecuación debemos igualar a los grados se encuentra representado hasta el angulo D (ultimo angulo dado en el esquema).

4x + 2x + 3x + 2x = 180

simplificamos la ecuación (sumando las x).

11x = 180

Despejamos x

x = 180 / 11

El resultado de x sera

x = 16.3636º

Después de obtener el resultado de x podemos encontrar la medida de cada uno de los ángulos del esquema, sustituyendo x por 16.3636º.

A= 4(x) = 4 (16.3636) = 65.4545º
B= 2(x) = 2 (16.3636) = 36.7272º
C= 3(x) = 3 (16.3636) = 49.0928º
D= 2(x) = 2 (16.3636) = 36.7272º

Y de esta manera encontramos los grados que mide cada uno de los ángulos del esquema el cual al sumar el resultado de cada angulo tiene que darnos 180 ( grados en los que se encuentra representado el esquema).

ÁREA DE POLÍGONOS

Para calcular el área de un polígono conociendo sus vértices se realiza una determinante con cada uno de ellos matemáticamente se puede expresar con la siguiente ecuación 

                         

Ejemplo:

Calcule el area del siguiente triangulo formado por los puntos

A (-1 , -2)

B (-1 , 2)

C (1 , 1)

Recta
Ordenadas y Abscisas 

Pendiente angulo de inclinación 

La recta de defina como un conjunto de puntos uni-direccionados que cuentan con una pendiente (relación entre coordenadas y abscisas) y un ángulo de inclinación, matemáticamente se calcula la siguiente  ecuación.

La recta se puede representar de diversas formas:

a)Pendiente ordenada al origen. Y = mx + b

b) Fórmula general.   Fx + By + C = 0

c) Forma dos puntos.  y - y1 = y1 - y2 
                                    x - x1    x1 - x2

d) Forma punto Pendiente. y - y1 = m (x - x1)

e) Forma reducida. x/a + y/b = 1

A) PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN.

Como su nombre lo dice se debe conocer el valor de la pendiente y el punto donde este corta al eje de las ordenadas, se representa despejando a la ordenada de la ecuacies recomendable utilizar esta ecuación.

Ejemplo:

Grafique la siguiente recta y representela en la forma pendiente al origen.

x+ y = 1

 x        y  y= 1 - x
-3        y= 1-(-3)=4

-2        y= 1-(-2)=3

-1        y= 1-(-1)=2

 0        y= 1-(0)=1

 1        y= 1-(1)=0

 2        y= 1-(2)=-1

 3        y= 1-(3)=-2

Para graficar una recta a partir de la ecuación pendiente ordenada al origen se debe identificar el angulo de inclinación y el punto donde corta la ordenada. 

 x + y = 1
b=1 punto donde corta el eje "y"
m= -1 pendiente
O= tg -1 m = tg -1 (-1) = 45°   

B) FORMA GENERAL.

Cuando se tiene dos puntos  es recomendable utilizar este ecuación antes de indicar, las ecuaciones restantes, la ecuación general se representa cuando la ecuación se iguala a 0.  

Ejemplo:

Grafique y represente en forma general las siguientes ecuaciones.

y=2x+2                                                                          Formula General

     

m=2                                                                                 Ax + By + C = 0

b=2                                                                                   y= 2x+2

O=tg-1 (2) = 63.4349°                                                     -2x + y -2 = 0

C) ECUACIÓN DOS PUNTOS

D) PUNTO PENDIENTE.

Para representar una recta conociendo un punto por donde pasa y la pendiente o ángulo de inclinación se utiliza la ecuación: (y - y1) = m (x - x1)

A partir de esta ecuación se puede encontrar las ecuaciones restantes, como indica los siguientes ejemplos:

Grafique la recta que pasa en el punto (3 , 8) y cuenta con un angulo de inclinacion de 45°

(y - y1) = m(x - x1)
punto (3 , 8)
O=45°
O= tg -1 45°
m=1
(y - 8)= 1(x - 3) Ecuación punto pendiente

y=mx + b
y - 8 = x - 3
y= x - 3 +8
y= x+5 Ecuación pendiente ordenada al origen

(3 , 8)    (0, 5)

y - 8 = 8 - 5
x - 3    3 - 5  Ecuación 2 dos puntos

-x + y -5 = 0
Ecuación
general

RESOLVER PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

Para resolver un problema de aplicación se debe diseñar un esquema que muestre gráficamente, las variables del problema.

Ejemplo:

Un cañon dispara una bala con un angulo de inclinación de 30°. Indique la ecuación de la trayectoria de la bala. Indique la altura de la bala si horizontalmente recorre 700 mts. Indique la distancia horizontal recorrida cuando alcanza una altura de 100 mts. 

O= 30°

m=tg =tg 30° = 0.5773

b=0

Ecuacion pendiente ordenada al origen        y= mx + b 

                                                                      y= o.5773x + 0

y= 0.5773x

y= 0.5773 (700)

y= 404.11 mts.

La altura a 700 metros de recorrido es de 404.11 mts.

y= 6.5773

100 = 0.5773

x= 100 

     0.5773 m

y= 173.2220

La distancia horizontal al tener una altura de 100 mts es de 173.2220 mts.

D) FORMA REDUCIDA.

El valor de a y b indica el punto donde la recta corta a los ejes coordenados gráficamente significa. 

Ejemplo:

Indique en todas sus formas a la recta que pasa por los puntos (3 , 2) (6 , -1)

y - y -1 = y1 - y2

x - x1      x1 - x2

y - 2 =  2 + 1

x - 3     3 - 6   Ecuación dos puntos 

4 - 2 =  3

x - 3    -3              

4 - 2 = 1

x - 3   

y - 2 = -1 (x - 3) Ecuación punto pendiente

(y - y1) = m(x - x1)

y= -x + 3 + 2

y= -x + 5 Ecuación pendiente ordenada al origen 

y= mx + b

m= -1

b= 5

x + y - 5 = 0 Ecuación general 

x + y = 1

5    5      Ecuación Reducida

CIRCUNFERENCIA 

Las cónicas se definen  como aquellos lugares geométricos que se forman a partir de cortes realizados o un cono, si el cono se corta en forma horizontal se obtiene una circunferencia, si el corte se realiza en forma diagonal se obtiene una elipse, si el corte se realiza vertical se obtiene una parábola, si el corte se realiza a dos conos concéntricos se obtiene una hipérbola. 

Una circunferencia se define como el lugar geométrico formado por puntos equidistantes a un punto llamado centro  y cualquier punto se denomina rápido.Cuando una circunferencia tiene su centro en el origen ser representa matemáticamente con la siguiente ecuación. 

Ejemplo:

Grafique la circunferencia 

Ejemplo 2:

Indique la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y pasa por el punto (3 , 4)

Ejemplo 3:

Indique la ecuación canónica y general de la circunferencia que pasa por el punto (2 , 6) e indique la altura de la circunferencia 3 cm a la derecha de su centro.

La ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen se determina por la ecuación





La ecuación general se calcula desarrollando los binomios al cuadrado de la ecuación a "0" obteniendo una ecuación de la forma:

Ejemplo:

Indique la ecuación cononica y general de la circunferencia con centro en el punto (4 , 2) y r = 3u y grafique.

Para resolver un problema de aplicación se debe diseñar el boceto donde se expresan los elementos de la circunferencia identificando las variables e incógnitas que intervienen en ella

Ejemplo:

Una rueda de la fortuna tiene un diámetro de 18 mts y su centro se encuentra a 10 mts sobre el nivel del suelo, indique la altura de las costillas a 3 mts a la izquierda del centro, indique a que distancia horizontal de la base se puede encontrar una canastilla con una altura de 12 mts.

PARÁBOLA 

Para calcular los elementos de una parábola con vértice en el origen debemos identificar el valor de la distancia focal "P" los elementos importantes de una parábola son:

a) Vértice
b) Foco
c) Directriz

Las ecuaciones para calcular los elementos de una parábola con vértice en el origen son:

Ejemplo:

PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN 

Ejemplo:

Grafique e indique la ecuación general de la parábola con vértice en el punto (3 , 5) y foco en el punto (1 , 5).

Resolver Problemas 

Un avión de acrobacias desciende con una trayectoria parabólica con una distancia focal de 40 mts, si la altura mas baja que alcanza al descender es de 8 mts. Indique la altura que alcanzara a 700 mts después de alcanzar su altura mínima.

ELIPSE

Una elipse es el lugar geométrico que se forma a partir de un corte diagonal a un cono.

Su ecuación se define como una ecuación cuadrática donde la variable dependiente son de segundo grado, de diferente coeficiente y de signo positivo.

a= Distancia centro - vértice

b= Distancia centro - eje menor

c= Distancia centro  

  Una elipse se define como una cónica formada cuando se realiza un corte en diagonal a un cono en forma análoga a la parábola, es una cónica formada por 2 parábolas que cuentan con el mismo eje simétrico y su concavidad es opuesta 

Sus elementos son:

a) Vértice
b) Foco
c) Lado recto
d) Eje mayor (distancia entre vértices)
e) Eje menor (Ancho de la parábola)

f) Directriz
e) Excentricidad 

Para calcular los elementos de una parábola cuando el centro se encuentra en el origen se debe identificar los valores de la distancia del foco al centro y la distancia del centro al eje menor (a, b, c).

Las ecuaciones matemáticas se utilizadas en esta cónica se representan en el siguiente esquema.

Ejemplo: Gratifique e indique la formula general de la siguiente parábola.

   

 






Elipse con centro fuera del origen

Ejemplo.
Una elipse tiene centro en el punto (4,1)si su vértice se encuentra en el punto (4,6) y su eje menor tiene un valor de 6 unidades. Grafique sus elementos e indique su ecuación general.

Elipse: Resolver ejercicios de aplicación.

Ejemplo 1 : Un terreno tiene un frente de 50  metros de este a oeste y una profundidad de 30 metros de norte a sur, si se desean sembrar arboles en forma elíptica que toque la mitad en cada uno de los lados de desea colocar 2 caminos en forma análoga a los lados rectos. Indique la longitud total de los caminos y la ecuación general de los arboles.

Hipérbola

la hipérbola en la cónica por un corte vertical a 2 conos concentricos entre si donde se representa  

mediante una ecuación de 2 do grado donde las variables cuadráticas son de signos diferentes.

Para identificar sus elementos es indispensable identificar las variables:
a) Distancia entre centro - vértice
b) Distancia entre centro - eje transverso
c) Distancia entre centro - foco

La excentricidad es mayo o igual a "1" y sus elementos se calculan  con las siguientes expresiones.



Ejemplo:
 

SISTEMA POLAR

Un sistema rectangular se compone por ejes perpendiculares que cuentan con proyecciones para ubicar un punto en el plano, un sistema polar cuenta con círculos concentricos que representan la magnitud y radios homogéneos que representan el angulo de inclinación.

Para calcular un punto en coordenadas polares se utilizan las siguientes ecuaciones:

Para convertir una coordenada rectangular en polar se utilizan las siguientes ecuaciones:

Ejemplo: Calcule los siguientes puntos en coordenadas polares o rectangulares según sea el caso.

Para gratificar una ecuación se debe tener una variable independiente en el sistema polar la variable dependiente es generalmente el angulo, los principales lugares geométricos casos especiales son: caracoles, rosca, leminscatas y espirales.

Ejemplo: Gratifique e indique el nombre de las siguientes ecuaciones.

0        5 + 5 cos 10° =  10
30      5 + 5 cos 30° = 9.3
60      5 + 5 cos 60° = 7.5
90      5 + 5 cos 90° = 5.0                
120    5 + 5 cos 120° = 2.5
150    5 + 5 cos 150° = 0.66
180    5 + 5 cos 180° = 0
210    5 + 5 cos 210° = 0.66
240    5 + 5 cos 240° = 2.5
270    5 + 5 cos 270° = 5.0
300    5 + 5 cos 300° = 7.5
330    5 + 5 cos 330° = 9.3
360    5 + 5 cos 360° = 10